射影 射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

[编辑本段]直角三角形射影定理 直角三角形射影定理（又叫欧几里德(euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式 如图，Rt△abc中，∠abc=90°，bd是斜边ac上的高，则有射影定理如下： （1）（bd）^2=ad · dc， （2）（ab）^2=ad · ac ， （3）（bc）^2=cd · ac 。

证明：在△bad与△bcd中，∠a+∠c=90°，∠dbc+∠c=90°，∴∠a=∠dbc，又∵∠bda=∠bdc=90°，∴△bad∽△cbd相似，∴ ad/bd＝bd/cd，即（bd）^2=ad · dc。

其余类似可证。

(也可以用勾股定理证明) 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

由公式（2）+（3）得： （ab）^2+（bc）^2=ad · ac+cd · ac =（ad+cd)·ac=（ac）^2， 即（ab）^2+（bc）^2=（ac）^2。

这就是勾股定理的结论。

[编辑本段]任意三角形射影定理 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 设⊿abc的三边是a、b、c，它们所对的角分别是a、b、c，则有 a＝b · cosc＋c · cosb， b＝c · cosa＋a · cosc， c＝a · cosb＋b · cosa。

注：以“a＝b · cosc＋c · cosb”为例，b、c在a上的射影分别为b · cosc、c · cosb，故名射影定理。

证明1：设点a在直线bc上的射影为点d，则ab、ac在直线bc上的射影分别为bd、cd，且 bd=c · cosb，cd=b · cosc，∴a=bd+cd=b · cosc＋c · cosb . 同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinb/sina，c=asinc/sina=asin(a+b)/sina=a(sinacosb+cosasinb)/sina =acosb+(asinb/sina)cosa=a · cosb＋b · cosa . 同理可证其它的。