第一章 三角形的证明

第一节 等腰三角形（一）

模块一 预习反馈（P2—P6） 一．知识点

1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。（论证） 2、全等三角形的对应边相等,对应角相等。 3、等腰三角形性质定理： （等边对等角）。（论证）

4、推论（三线合一）： 。（论证） 5、等边三角形性质定理： 。（论证） 论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程） 模块二 基础训练

1.如图，已知∠D =∠c，∠A =∠B，且AE = BF。求证：AD = Bc。

cD

BAEF

A2．如图，在△ABc中，AB = Ac，AD⊥Ac∠BAc = 100°。

12求∠1、∠3、∠B的度数。 3Bc D

3．如图，在△ABc中，D为Ac上一点，并且AB = AD，DB = Dc，若∠c =

A29°，

求∠A。 D Bc

模块三 能力提升 1． 填空：

（1）如图，在△ABc中，AB = Ac，点D在Ac上，且BD = Bc = AD。

请找出所有的等腰三角形 。

A（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 。

1 DBc（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为 。 （4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

2． 如图，在△ABc中，AB = Ac，D是Bc边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥Ac。

求证：∠1 =∠2。

A

EF 12 BcD模块四：课下练习 ☆能力提升

1.△ABc中，AB＝Ac，∠A＝50°，P是△ABc 内一点，且∠PBc＝∠AcP，求∠BPc的度数_________．

2． 已知：如图，在△ABc中，AB＝Ac，BD，cE是△ABc的角平分线. 求证：BD＝cE.

A E B 1 2 D c 3．如图，A、B、F、D在同一直线上，AB=DF， AE=Bc，且AE∥Bc. 求证：⑴△AEF≌△BcD， ⑵EF∥cD.

E c

第一节 等腰三角形（二）

模块一 预习反馈（P5例1—P9） 一．知识点

1、等腰三角形两个底角的平分线相等； 2、等腰三角形腰上的高相等； 3、等腰三角形腰上的中线相等；

2

A B F

D

4、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等； （以上定理画图、写出已知、求证、证明过程）

5．等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60?。 6、两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

7、反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、

已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

模块二 基础训练

1. 在如图的等腰三角形ABc中，

11

(1)如果∠ABD= ∠ABc，∠AcE= ∠AcB呢?由此，你能得到一个什么结论?

33111

(2)如果AD= Ac，AE= AB，那么BD=cE吗?如果AD= Ac，

2231

AE= AB呢?由此你得到什么结论?

3

BAEDc

2．想想出反证法证明问题的一般步骤。把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。

a) 三角形中必有一个内角不少于60度； b) 一个三角形中不能有两个角是钝角； c) 垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、如图，?ABc中，BD⊥Ac于D，cE⊥AB于E，BD = cE。求证：?ABc是等腰三角形。 A模块三 能力提升

1、如图，在△ABc中，AB = Ac，DE∥Bc，求证：△ADE是等腰三角形。 DE

B cDE

A

Bc

3

2、如图，E是△ABc内的一点，AB = Ac，连接AE、BE、cE，且BE = cE，延长AE，

A交Bc边于点D。求证：AD⊥Bc。

E BcD

模块四：课下练习

1、 在△ABc中，AB＝Ac，AB的垂直平分线与Ac所在的直线相交所得的锐角为50°，∠B等于________度．

2、 如图，在△ABc中，∠B、∠c的平分线交于E，过E作DF∥Bc交AB于D，交Ac于F．

若BD＋cF＝8，则线段DF的长（ ）.

A．9 B．7 c．8 D．6 3.在△ABc中，∠A∶∠B∶∠c＝1∶2∶3，cD⊥AB于D，AB＝a，则DB等于（ ）. A. a3a B.22 c.aa D. 34

第一节 等腰三角形（三）

模块一 预习反馈（P10—P11） 一．知识点

1、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。 2、等边三角形的判定

1） 三个角都相等的三角形是等边三角形 。

4

2） 有一个角等于60?的等腰三角形是等边三角形。（证明）

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（证明）

模块二 基础训练

1、 已知：如图，△ABc是等边三角形，DE∥Bc，交AB、Ac于D、E。 求证：△ADE 是等边三角形。 A

DE

Bc

2、如图，△ABc是等边三角形，BD = cE，∠1 =∠2。求证：△ADE是等边三角形。

AE

D2 1B c

3、如图，在Rt?ABc中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求Dc的长。

A

30??B Dc模块三 能力提升 1、 填空：

（1）如图1，Bc = Ac，若 ，则△ABc是等边三角形。

（2）如图2，AB = Ac，Bc⊥AD，BD = 4，若AB = ，则△ABc是等边三角形。

（3）如图3，在Rt?ABc中，∠B = 30°，Ac = 6cm，则AB = ；若AB = 7，则Ac = 。

AA A

Bc BBccD

5

图1 图2 图3 2、如右图，已知△ABc和△BDE都是等边三角形，求证：AE=cD。

模块四：课下练习 1、填空：

（1）如图1，AB = Ac，AD是△ABc的一条中线，AB = 5，若BD = ， 则△ABc是等边三角形。

（2）如图2，∠BAc＝120°，AB＝Ac，AB＝14，则AD = 。 A BcBDcD

图1 图2

2、已知：?ABc中，?AcB?90?，cD?AB，?A?30?，AB = 40， 求DB的长。

c

ADB

3、在四边形ABcD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，Bc=2，cD=3，求：AB的长

A

6

AB

c D

第二节 直角三角形（一）

模块一 预习反馈（P14—P16） 一．知识点

1、直角三角形的两个锐角互余。（性质） 2、有两个角互余的三角形是直角三角形。（判定） 3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。（性质）

4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（判定）

5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

模块二 基础训练

1、如图，BA⊥DA于A，AD = 12，Dc = 9，cA = 15，求证：BA∥Dc。 12DA

159 c B2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a =__________。

7

3、已知：如图，△ABc中，cD⊥AB于D，Ac=4，Bc=3，DB=9。

5（1）求Dc的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长； （4）求证：△ABc是直角三角形.

模块三 能力提升 1、 填空：

（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，

其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。

（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。

2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。 1）等边对等角； 2）对顶角相等；

3）平行四边形的两组对边相等； 4）正方形的四条边都相等； 3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠AcB＝90°，

Ac＝80米，Bc＝60米，若线段cD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价

为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

图5 模块四：课下练习 1、 找出下列定理有哪些存在逆定理，并判断每对命题的真假。 （1）矩形是平行四边形 。 （2）内错角相等，两直线平行。

（3）如果x?y，则x2?y2 。

8

（4）全等三角形对应角相等。 （5）对顶角相等

（6）如果ab=0,那么a=0,b=0； 2、如图，AB⊥Bc，Dc⊥Bc，E是Bc上一点，∠BAE=∠DEc=60°，AB=3，cE=4，

则AD等于 。

3 、如图所示的一块地，∠ADc=90°，AD=12m，cD=9m，AB=39m，Bc=36m， 求这块地的面积。

cDB

A

第二节 直角三角形（二）

模块一 预习反馈（P18—P20） 一．知识点

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（“斜边、直角边”或“HL”）

（证明）

模块二 基础训练

9

1、在Rt△ABc中，∠c = 90°，且DE⊥AB，cD = ED，求证：AD是∠BAc的角平分线。

A

E Dc

2、如图，∠AcB = ∠ADB = 90°，Ac = AD，E是AB上的一点。求证：cE = DE。

c

AB E D3、在△ABc≌△A"B"c"中，cD，c"D"分别分别是高，并且Ac＝A"c"，cD=c"D"．∠AcB=∠A"c"B"．求证：△ABc≌△A"B"c"．

c"c

ADBA"D"B"模块三 能力提升

1、填空：.如下图，Rt△ABc和Rt△DEF，∠c=∠F=90°。

（1）若∠A=∠D，Bc=EF，则Rt△ABc≌Rt△DEF的依据是__________. （2）若∠A=∠D，Ac=DF，则Rt△ABc≌Rt△DEF的依据是__________. （3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABc≌Rt△DEF的依据是__________. （4）若Ac=DF，AB=DE，则Rt△ABc≌Rt△DEF的依据是__________. （5）若Ac=DF，cB=FE，则Rt△ABc≌Rt△DEF的依据是__________.

10

B

2、如下图，cD⊥AD，cB⊥AB，AB=AD，求证：cD=cB。

模块四：课下练习

1.已知x、y为正数，且，如果以x、y的长为直角边作一个

直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）. A.5 B.25 c.7 D.15

2.折叠矩形纸片ABcD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD边与对角线BD重合，

得折痕DG，如图，若AB=2，Bc=1，求AG的长.

11

x2?4?y2?3?0??2

第三节 线段的垂直平分线（一）

模块一 预习反馈（P22——P23） 一、知识点

1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（性质） 2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（判定）

论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）

模块二 基础训练

1、如图，在△ABc中，∠c = 90°，DE是AB的垂直平分线。 1）则BD = ； 2）若∠B = 40°，则∠BAc = °，∠DAB = °，∠DAc = °，∠cDA = °；

3）若Ac= 4， Bc = 5，则DA + Dc = ，△AcD的周长为 。

E

2、如图，DE为△ABc的AB边的垂直平分线，D为垂足，ADE交Bc于E， Ac = 5，

Bc = 8，求△AEc的周长。

12

BDcADBcE

3、在△ABc中，AB = Ac，AB的垂直平分线交Ac于D，△ABc和△DBc的周长分别是60cm和38cm，求AB、Bc。

A

E D模块三 能力提升

1、如图，已知AB = Ac = 14cm，AB的垂直平分线交Ac

Bc于D。

1）若△DBc的周长为24cm，则Bc = cm；

A2）若Bc = 8cm，则△BcD的周长是 cm。

ED

Bc

2、已知在△ABc中，DE是Ac的垂直平分线，AE = 3cm，△ABD的周长是13cm，

A求△ABc的周长。

E

cBD

模块四：课下练习 1、如图，△ABc中，AB = Ac，∠A = 40°，DE为AB的中垂线，则∠1 = °， ∠c = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABc的周长为16cm，Bc = 4cm，

则Ac = ，△BcE的周长为 。 A

D1313 2EcB

2、如图，在△ABc中，AB的垂直平分线交Ac于D，如果Ac= 5cm，Bc= 4cm， AE = 2cm，求△cDB的周长。 A E D

cB

第三节 线段的垂直平分线（二）

模块一 预习反馈 一．知识点

1、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、尺规作图：已知直线外一点作直线的垂线。 证明1

模块二 基础训练

1、用尺规作线段的垂直平分线。

BB A

B A A

2、已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P。

14

APB

3、已知：线段a、h，求作：△ABc，使AB = Ac，且Bc = a，高AD = h 作法：

h

模块三 能力提升 1、△ABc的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA = 10，则PB = ，Pc = 。

2、已知：线段a=4cm、h=6cm求作：△ABc，使AB = Ac，且Bc = a，高AD = h

作法：

模块四：课下练习

1、 如果△ABc的边Bc的垂直平分线经过顶点A，与Bc相交于点D，且

aAB?2AD，

则 △ABc中必有一个内角的度数为（ ）. A.45? B.60? c.90? D.120?

2、如图，△ABc中，?A?124?，Bc边上的垂直平分线交Ac于D，交Bc于E，

BD分 ?ABc为两部分．若?ABD:?DBc?3:2，则?c?（ ）. A.24? B.16? c.30? D.8?

Ａ Ｄ Ｂ Ｃ

E 15

9.△ABc中，AB=Ac，∠BAc=100°，两腰AB、Ac的垂直平分线交于点P，则（ ）.

A.点P在△ABc 内 B.点P在△ABc 底边上 c.点P在△ABc 外 D.点P的位置与△ABc 的边长有关

第四节 角平分线（一）

模块一 预习反馈（P28—P29） 一．知识点

1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（性质） 2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（判定）

论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）

16

模块二 基础训练

1、如图，cD⊥AB，BE⊥Ac，垂足分别为D、E，BE、cD相交于o，且∠1 =∠2。

求证：oB = oc。

A 12 DE oBc

2、如图，AB = Ac，DE为△ABc的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交Bc于E。

求证：BE + Ec = AB。 A DE

Bc

3、如图，在△ABc中，Ac = Bc，∠c = 90°，AD是△ABc的角平分线，DE⊥AB，

A垂足为E。

（1）已知cD = 4cm，求Ac的长； （2）求证：AB = Ac + cD。

E

DBc

模块三 能力提升

1、如图，cD⊥AB，BE⊥Ac，垂足分别为D、E，BE、cD相交于o，且oB = oc。

求证：∠1 =∠2。 A 12

BDEoc17

2、如右图，已知BE⊥Ac于E，cF⊥AB于F，BE、cF相交于点D，若BD=cD。 求证：AD平分∠BAc。

模块四：课下练习

1、如图，E是线段Ac上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，cB = cD。

B求证：∠3 =∠4。

3 E1cA2

4 D

2、如图，在△ABc中，BE⊥Ac，AD⊥Bc，AD、BE相交于点P，AE = BD。 求证：P在∠AcB的角平分线上。

A

E P

BcD

3、如图，E为AB边上的一点，DA⊥AB于A，cB⊥AB于B，∠1 =∠c，DE = Ec。 求证：DA + cB = AB。 D

c 1AEB18

第四节 角平分线（二）

模块一 预习反馈（P30—P31） 一．知识点

1、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）

模块二 基础训练

1、用尺规作图法作下列各个角的平分线。

B

ABo

oA

2、如图，求作一点P，使Pc = PD，并且点P到∠AoB两边的距离相等。

B

D

coA

19

3、（1）利用角平分线的性质，找到△ABc内部距三边距离相等的点。 （2）在右图△ABc所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点。 ．．

模块三 能力提升

1、填空：

（1）如图1，点P为△ABc三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥Bc，PF⊥Ac，则PD__________PE__________PF.

（2）如图2，P是∠AoB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与oB的关系是__________.

（3）如图3，cD为Rt△ABc斜边上的高，∠BAc的平分线分别交cD、cB于点E、F，

FG⊥AB，垂足为G，则cF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=________度，∠3______∠4，cE_______cF.

图1 图2 图3 2、已知：如图在△ABc中，∠c=90°，AD平分∠BAc，交Bc于D，若Bc=32， 且BD∶cD=9∶7，求：D到AB边的距离.

模块四：课下练习

☆能力提升

20

1、如图，Rt△ABc中，∠c=90o，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，Bc=6，

cD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABc的周长是_______．

2.如图，△ABc中，∠c=90o，BD平分∠ABc交Ac于D，DE是AB的垂直平分线，

D c

B

A

E

1BD，且DE=1.5cm，则Ac等于（ ）. 2A． 3cm B．7.5cm c．6cm D．4.5cm DE=

B E

c D A

3．已知，Rt△ABc中，∠c=90°，AD平分∠BAc交Bc于D，若Bc=32，且BD∶cD=9∶7，则D到AB的距离为（ ）. A.18 B.16 c.14 D.12

第一章 回顾与思考

【学习目标】

1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明， 证明的思路和方法，尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法， 提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固

21

难点：本章知识的综合性应用。 【学习过程】

模块一 预习反馈 一．预习要求

1．请同学们阅读教材1页～39的内容，并选做教材41页的复习题。 2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

二．知识点

1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。

2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。 3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。

4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。

5、线段垂直平分线的性质定

理： 。

逆定

理： 。

三角形的垂直平分线性

质： 。

6、角的性质定

理： 。

逆定

理： 。

三角形的角平分线性

质： 。

7、三角形全等的判定方法

有： 。

8、30°锐角的直角三角形的性

质： 。

9、方法总结：

（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对

22

顶角相等；

4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法： 1）证邻补角相等；

2）证和已知直角三角形全等；

3）利用等腰三角形的三线合一性质； 4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：主要利用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

模块二 基础训练

2、 已知：如图，D是△ABc的Bc边上的中点，DE⊥Ac，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF。

求证：△ABc是等腰三角形。

A

F E B D c

2、如图，在△ABc中，AB=Ac，AB的垂直平分线交Ac于点E，已知△BcE的周长为8， A Ac－Bc=2. 求AB与Bc的长.

D

E

B c 模块三 能力提升

1、已知，等腰三角形的一边长为6，另一边长为3，则此等腰三角形的周长是

2、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____ 3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是 4、如图1，在△ABc中，已知Ac=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交Ac于点E，

23

△BcE的周长等于50，则Bc的长为 。

5、如图2，在△ABc中，∠c=90°，∠A的平分线交Bc于E，DE⊥AB于D，Bc=8，

Ac=6，AB=10，则△BDE的周长为_________。

6、.如图3，在△ABc中，∠AcB=90°,BE平分∠ABc，DE⊥AB于D，如果Ac=3 cm，

那么AE+DE等于 。

c

E A D B 图1 图2 图3

7、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是

______________________.它是一个__________命题。

8、如图，Ac平分∠BAD，cE⊥AB，cF⊥AF，E、F是垂足，且Bc = cD。 求证：（1）△BcE≌△DcF； （2）DF = EB。

ADEBcF

DcAEB24