北师大版八年级下册数学第一章周测试题
北师大版八年级下册数学第一章周测试题
一．选择题（共10小题） 1．（2016?贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16 c．20 D．16或20 2．（2016?枣庄）如图，在△ABc中，AB=Ac，∠A=30°，E为Bc延长线上一点，∠ABc与∠AcE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° c．20° D．22.5° 3．（2016?滨州）如图，△ABc中，D为AB上一点，E为Bc上一点，且Ac=cD=BD=BE，∠A=50°，则∠cDE的度数为（ ）
A．50° B．51° c．51.5° D．52.5° 4．（2016?湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13cm B．14cm c．13cm或14cm D．以上都不对 5．（2016?泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，n，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，Bn=AK，若∠MKn=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° c．88° D．92° 6．（2016?雅安）如图所示，底边Bc为2分AB于D，则△AcE的周长为（ ）
，顶角A为120°的等腰△ABc中，DE垂直平
A．2+2 B．2+ c．4 D．3 7．（2016?孝感模拟）如图，∠B=∠c，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（ ）
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A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° c．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180° 8．（2016?鞍山二模）如图在等腰△ABc中，其中AB=Ac，∠A=40°，P是△ABc内一点，且∠1=∠2，则∠BPc等于（ ）
A．110° B．120° c．130° D．140° 9．（2016春?乳山市期末）如图，在△ABc中，AB=Ac，BD=cE，BE=cF，若∠A=50°，则∠DEF=（ ）
A．55° B．60° c．65° D．70° 10．（2016?六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An的度数为（ ）
A．
B．
c．
D．
二．填空题（共10小题） 11．（2016?淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ． 12．（2016?通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ． 13．（2016?厦门校级模拟）在等腰△ABc中，AB=Ac，Ac腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．
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14．（2016?哈尔滨模拟）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为 ． 15．（2016?红桥区二模）如图，在△ABc中，AB=Ac，D为Bc上一点，cD=AD，AB=BD，则∠B的大小为 ．
2
16．（2016?哈尔滨校级模拟）已知：等腰三角形ABc的面积为30m，AB=Ac=10m，则底边Bc的长度为 ． 17．（2016?黄浦区三模）如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则y= ．（用x的代数式表示） 18．（2016?河南模拟）如图，在△ABc中，∠AcB=90°，Ac=6cm，Bc=8cm，动点P从点c出发，按c→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△AcP是等腰三角形．
19．（2016春?东港市期末）等腰三角形两内角度数之比为1：2，则它的顶角度数为 ． 20．（2016?河北模拟）如图，∠AoB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且oE=EF=FG=GH…，在oA、oB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 ．
三．解答题（共10小题） 21．（2016?西城区一模）如图，在△ABc中，AB=Ac，AD是Bc边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=
．
求证：AB平分∠EAD．
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22．（2016?徐州模拟）如图，已知Ac⊥Bc，BD⊥AD，Ac与BD交于o，Ac=BD． 求证：△oAB是等腰三角形．
23．（2016春?太仓市期末）如图，已知△ABc中，AB=BD=Dc，∠ABc=105°，求∠A，∠c度数．
24．（2016春?埇桥区期末）如图，在△ABc中，AB=Ac，AB的垂直平分线交AB于点n，交Bc的延长线于点M，若∠A=40°． （1）求∠nMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠nMB的度数； （3）你发现∠A与∠nMB有什么关系，试证明之．
25．（2016春?鄄城县期末）如图，在△ABc中，AD平分∠BAc，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥Ac，交AB于E． 求证：△BDE是等腰三角形．
26．（2016春?深圳校级期中）如图，在△ABc中，AD平分∠BAc，点D是Bc的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥Ac于点F． 求证：△ABc是等腰三角形．
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27．（2016春?吉安校级月考）如图，在△ABc中，AB=Ac，D是Bc上任意一点，过D分别向AB，Ac引垂线，垂足分别为E，F，cG是AB边上的高． （1）当D点在Bc的什么位置时，DE=DF？并证明．
（2）DE，DF，cG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明： （3）若D在底边Bc的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？
28．（2015?北京）如图，在△ABc中，AB=Ac，AD是Bc边上的中线，BE⊥Ac于点E．求证：∠cBE=∠BAD．
29．（2015秋?当涂县期末）如图，△ABc是等腰三角形，D，E分别是腰AB及Ac延长线上的一点，且BD=cE，连接DE交底Bc于G．求证GD=GE．
30．（2015秋?顺义区期末）已知：如图，△ABc中，AB=Ac=6，∠A=45°，点D在Ac上，点E在BD上，且△ABD、△cDE、△BcE均为等腰三角形． （1）求∠EBc的度数； （2）求BE的长．
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【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B， ∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角， ∴∠B1A2A1=同理可得，
∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=∴∠An﹣1AnBn﹣1=故选：c．
．
，
=35°；
二．填空题（共10小题） 11．（2016?淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ．
【解答】解：因为2+2＜4，
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2=10， 答：它的周长是10， 故答案为：10 12．（2016?通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 69°或21° ．
【解答】解：分两种情况讨论： ①若∠A＜90°，如图1所示： ∵BD⊥Ac，
∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°﹣48°=42°， ∵AB=Ac，
∴∠ABc=∠c=（180°﹣42°）=69°； ②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°， ∴∠BAc=180°﹣42°=138°， ∵AB=Ac，
∴∠ABc=∠c=（180°﹣138°）=21°；
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综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°． 故答案为：69°或21°．
13．（2016?厦门校级模拟）在等腰△ABc中，AB=Ac，Ac腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 16或8 ．
【解答】解：∵BD是等腰△ABc的中线，可设AD=cD=x，则AB=Ac=2x， 又知BD将三角形周长分为15和21两部分， ∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时Bc=21﹣x=21﹣5=16；
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABc的三边分别为14，14，8． 经验证，这两种情况都是成立的． ∴这个三角形的底边长为8或16． 故答案为：16或8．
14．（2016?哈尔滨模拟）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为 35°或20° ．
【解答】解：在△ABc中，AB=Ac， ①当∠A=70°时， 则∠ABc=∠c=55°， ∵BD⊥Ac，
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∴∠DBc=90°﹣55°=35°； ②当∠c=70°时， ∵BD⊥Ac，
∴∠DBc=90°﹣70°=20°； 故答案为：35°或20°．
15．（2016?红桥区二模）如图，在△ABc中，AB=Ac，D为Bc上一点，cD=AD，AB=BD，则∠B的大小为 36° ．
【解答】解：∵AB=Ac， ∴∠B=∠c， ∵cD=DA， ∴∠c=∠DAc， ∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠c=2∠B， 又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36°， 故答案为：36°．
16．（2016?哈尔滨校级模拟）已知：等腰三角形ABc的面积为30m，AB=Ac=10m，则底边Bc的长度为 2或6 ． 【解答】解：作cD⊥AB于D，
则∠ADc=∠BDc=90°，△ABc的面积=AB?cD=×10×cD=30， 解得：cD=6， ∴AD=
=8m；
2
分两种情况：
①等腰△ABc为锐角三角形时，如图1所示： BD=AB﹣AD=2m， ∴Bc=
=2
；
②等腰△ABc为钝角三角形时，如图2所示： BD=AB+AD=18m， ∴Bc=
=6；
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综上所述：Bc的长为2或6故答案为：2或6．
．
17．（2016?黄浦区三模）如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°，则y= x或90°﹣x ．（用x的代数式表示）
【解答】解：∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等， ∴腰上的高相等．
①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y=x，
②当两个三角形应该是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y=90°﹣x． 故答案为x或90°﹣x． 18．（2016?河南模拟）如图，在△ABc中，∠AcB=90°，Ac=6cm，Bc=8cm，动点P从点c出发，按c→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 3，6或6.5或7.2 时，△AcP是等腰三角形．
【解答】解：由题意可得，
第一种情况：当Ac=cP时，△AcP是等腰三角形，如右图1所示，
∵在△ABc中，∠AcB=90°，Ac=6cm，Bc=8cm，动点P从点c出发，按c→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动， ∴cP=6cm， ∴t=6÷2=3秒；
第二种情况：当cP=PA时，△AcP是等腰三角形，如右图2所示，
∵在△ABc中，∠AcB=90°，Ac=6cm，Bc=8cm，动点P从点c出发，按c→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动， ∴AB=10cm，∠PAc=∠PcA， ∴∠PcB=∠PBc， ∴PA=Pc=PB=5cm，
∴t=（cB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；
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第三种情况：当Ac=AP时，△AcP是等腰三角形，如右图3所示，
∵在△ABc中，∠AcB=90°，Ac=6cm，Bc=8cm，动点P从点c出发，按c→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动， ∴AP=6cm，AB=10cm，
∴t=（cB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；
第四种情况：当Ac=cP时，△AcP是等腰三角形，如右图4所示， 作cD⊥AB于点D，
∵∠AcB=90°，Ac=6cm，Bc=8cm，tan∠A=∴
，AB=10cm，
=
，
设cD=4a，则AD=3a，
222
∴（4a）+（3a）=6， 解得，a=， ∴AD=3a=
，
∴t==7.2s
故答案为：3，6或6.5或7.2．
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19．（2016春?东港市期末）等腰三角形两内角度数之比为1：2，则它的顶角度数为 36°或90° ．
【解答】解：在△ABc中，设∠A=x，∠B=2x，分情况讨论：
当∠A=∠c为底角时，x+x+2x=180°解得，x=45°，顶角∠B=2x=90°； 当∠B=∠c为底角时，2x+x+2x=180°解得，x=36°，顶角∠A=x=36°． 故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°． 故3答案为：36°或90°． 20．（2016?河北模拟）如图，∠AoB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且oE=EF=FG=GH…，在oA、oB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 8 ．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与oE相等，∠AoB=10°， ∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个． 故答案为8．
三．解答题（共10小题） 21．（2016?西城区一模）如图，在△ABc中，AB=Ac，AD是Bc边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=
．
求证：AB平分∠EAD．
【解答】证明：∵AB=Ac，AD是Bc边上的中线， ∴BD=Bc，AD⊥Bc，
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∵BE=Bc，
∴BD=BE， ∵AE⊥BE，
∴AB平分∠EAD． 22．（2016?徐州模拟）如图，已知Ac⊥Bc，BD⊥AD，Ac与BD交于o，Ac=BD． 求证：△oAB是等腰三角形．
【解答】证明：∵Ac⊥Bc，BD⊥AD ∴∠D=∠c=90°，
在Rt△ABD和Rt△BAc中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAc（HL）， ∴∠DBA=∠cAB， ∴oA=oB，
即△oAB是等腰三角形．
另外一种证法：
证明：∵Ac⊥Bc，BD⊥AD ∴∠D=∠c=90°
在Rt△ABD和Rt△BAc中
∴Rt△ABD≌Rt△BAc（HL） ∴AD=Bc，
在△AoD和△Boc中
，
∴△AoD≌△Boc（AAS）， ∴oA=oB，
即△oAB是等腰三角形．
23．（2016春?太仓市期末）如图，已知△ABc中，AB=BD=Dc，∠ABc=105°，求∠A，∠c度数．
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【解答】解：∵AB=BD， ∴∠BDA=∠A， ∵BD=Dc， ∴∠c=∠cBD， 设∠c=∠cBD=x， 则∠BDA=∠A=2x， ∴∠ABD=180°﹣4x，
∴∠ABc=∠ABD+∠cDB=180°﹣4x+x=105°， 解得：x=25°，所以2x=50°， 即∠A=50°，∠c=25°． 24．（2016春?埇桥区期末）如图，在△ABc中，AB=Ac，AB的垂直平分线交AB于点n，交Bc的延长线于点M，若∠A=40°． （1）求∠nMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠nMB的度数； （3）你发现∠A与∠nMB有什么关系，试证明之．
【解答】解：（1）∵在△ABc中，AB=Ac，∠A=40°， ∴∠ABc=∠AcB=70°，
∵AB的垂直平分线交AB于点n，交Bc的延长线于点M， ∴Mn⊥AB，
∴∠nMB=90°﹣∠ABc=20°；
（2）∵在△ABc中，AB=Ac，∠A=70°， ∴∠ABc=∠AcB=55°，
∵AB的垂直平分线交AB于点n，交Bc的延长线于点M， ∴Mn⊥AB，
∴∠nMB=90°﹣∠ABc=35°；
（3）∠nMB=∠A．
理由：∵在△ABc中，AB=Ac， ∴∠ABc=∠AcB=
，
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∵AB的垂直平分线交AB于点n，交Bc的延长线于点M， ∴Mn⊥AB，
∴∠nMB=90°﹣∠ABc=∠A．
25．（2016春?鄄城县期末）如图，在△ABc中，AD平分∠BAc，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥Ac，交AB于E． 求证：△BDE是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAc，DE∥Ac， ∴∠EAD=∠cAD，∠EDA=∠cAD， ∴∠EAD=∠EDA， ∵BD⊥AD，
∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA ∴∠EBD=∠BDE， ∴DE=BE，
∴△BDE是等腰三角形． 26．（2016春?深圳校级期中）如图，在△ABc中，AD平分∠BAc，点D是Bc的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥Ac于点F． 求证：△ABc是等腰三角形．
【解答】证明：∵AD平分∠BAc，DE⊥AB于点E，DF⊥Ac于点F， ∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△cDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△cDF（HF）， ∴∠B=∠c，
∴△ABc为等腰三角形．
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27．（2016春?吉安校级月考）如图，在△ABc中，AB=Ac，D是Bc上任意一点，过D分别向AB，Ac引垂线，垂足分别为E，F，cG是AB边上的高． （1）当D点在Bc的什么位置时，DE=DF？并证明．
（2）DE，DF，cG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明： （3）若D在底边Bc的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？
【解答】解：（1）当点D在Bc的中点时，DE=DF，理由如下： ∵D为Bc中点， ∴BD=cD， ∵AB=Ac， ∴∠B=∠c，
∵DE⊥AB，DF⊥Ac， ∴∠DEB=∠DFc=90°， 在△BED和△cFD中
，
∴△BED≌△cFD（AAS）， ∴DE=DF．
（2）DE+DF=cG． 证明：连接AD，
则S△ABc=S△ABD+S△AcD，即AB?cG=AB?DE+Ac?DF，
∵AB=Ac， ∴cG=DE+DF．
（3）当点D在Bc延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=cG． 理由：连接AD，则S△ABD=S△ABc+S△AcD， 即AB?DE=AB?cG+Ac?DF
∵AB=Ac， ∴DE=cG+DF， 即DE﹣DF=cG．
同理当D点在cB的延长线上时，则有DE﹣DF=cG，说明方法同上．
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