【小学数学一题多解系列】几何计算题

【小学数学一题多解系列】几何计算题

例116 有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体,正方体的表面积是30平方厘米.如果把这两个长方体改拼成一个大长方体,那么大长方体的表面积是多少?

(北京市西城区)

【分析1】因为正方体有6个相等的面,所以每个面的面积是30÷6=5平方厘米.拼成一个大长方体要减少一个面的面积,同时增加两个面的面积.由此可求大长方体的表面积.

【解法1】30-30÷6+30÷6×2

=30-5+10=35(平方厘米).

或: 30+30÷6×(2-1)

=30+5=35(平方厘米).

【分析2】因为拼成大长方体后,表面积先减少一个面的面积,同时又增加两个面的面积,实际上增加了一个面的面积.

【解法2】 30+30÷6=30+5=35(平方厘米).

【分析3】把原来正方体的表面积看作“1”.先求出增加的一个面是原来正方体表面积的几分之几,再运用分数乘法应用题的解法求大长方体的表面积.

【分析4】因为原来正方体的表面积是6个小正方形面积的和,拼成大长方体的表面积是7个小正方形面积的和,所以可先求每个小正方形的面积,再求7个小正方形的面积.

【解法4】30÷6×(6+1)

=30÷6×7=35(平方厘米).

答:大长方体的表面积是35平方厘米.

【评注】比较以上四种解法,解法2和解法3是本题较好的解法.

例117 大正方体棱长是小正方体棱长的2倍,大正方体体积比小正方体的体积多21立方分米,小正方体的体积是多少?

(北京市东城区)

【分析1】把小正方体的体积看作“1倍”,那么大正方体的体积是小正方体的2×2×2=8(倍),比小正方体多8-1=7(倍).由此本题可解.

【解法1】21÷(2×2×2-1)

=21÷7=3(立方分米).

【分析2】把小正方体的棱长看作“ 1”,那么大正方体棱长就是2.

【分析3】先求出大、小正方体的体积比,再求21立方分米的对应份数,最后求出每份的体积即小正方体的体积.

【解法3】大、小正方体的体积比?

(2×2×2)∶(1×1×1)=8∶1

小正方体的体积是多少立方分米?

21÷(8-1)=3(立方分米)

答:小正方体的体积是3立方分米.

【评注】解法1的思路简单,运算简便.

例118 一个圆锥形麦堆,底面周长是25.12米,高是3米.把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内正好装满,这个圆柱形粮囤的高是多少米?(天津市和平区)

【分析1】由题意可知,麦堆的体积等于圆柱粮囤的体积.所以先求出麦堆的体积,再除以圆柱粮囤的底面积,即得粮囤的高。

【解法1】麦堆的底面半径是多少?

25.12÷3.14÷2=4(米)

麦堆的体积是多少立方米?

圆柱粮囤的高是多少米?

综合算式:

【分析2】根据麦堆的体积和圆柱粮囤体积相等列方程解.

【解法2】设圆柱粮囤高是h米.

体积,而这个圆柱与粮囤的体积相等,即积一定,根据圆柱体积=πr2h可知,圆柱高h与半径的平方r2成反比例.由此列方程解.

【解法3】设圆柱粮囤高为h米.

麦堆底半径:25.12÷3.14÷2=4(米)

粮囤底半径:4÷2=2(米)

16=4h

h=4

答:这个圆柱形粮国的高是4米.

【评注】解法3的思路最简单、最灵活,运算最简便,是本题的最佳解法.

例119 一个圆锥体的体积是36立方分米,高是9分米,比与它等底的圆柱体的体积小12立方分米,这个圆柱体的高是多少分米?(天津市河西区)

【分析1】先求圆锥的底面积即圆柱的底面积,再求圆柱体积,最后求圆柱的高.

【解法1】圆柱底面积是多少?

36×3÷9=12(平方分米)

圆柱的体积是多少?

36+12=48(立方分米)

圆柱的高是多少?

48÷12=4(分米)

综合算式:(36+12)÷(36×3÷9)

=48÷12=4(分米).

【分析2】如果设圆柱高为h,那么它相当于高为3h的等底圆锥,而这的高与圆锥的体积成正比例.

【解法2】设圆柱体的高是h分米.

(36+12)∶3h=36∶9

答:这个圆柱体的高是4分米。

【评注】解法2的思路简单明白,运算最为简便,是本题的较好解法.本题还可用方程解,读者试解一下.

例120 如下图,求阴影部分的面积(单位:厘米).

(湖北省武汉市)

【分析1】从图中条件可知,三角形为等腰直角三角形,所以两个锐角都是45°.因此用三角形的面积分别减去三个扇形的面积,即得阴影面积.

【解法1】(10+10)×(10+10)÷2

=20×20÷2-3.14×25-3.14×25

=200-78.5-78.5=43(平方米)

【分析2】因为三个空白扇形恰好拼成180°的扇形,所以用三角形的面积减去圆心角是180°的扇形面积,即得阴影部分的面积.

【解法2】(10+10)×(10+10)÷2

=20×20÷2-3.14×10×10÷2

=200-157=43(平方厘米).

【分析3】同分析2.用三角形的面积减去半圆的面积,即得阴影部分的面积.

【解法3】(10×2)×(10×2)÷2-3.14×10×10÷2

=200-157=43(平方厘米).

答:阴影部分的面积是43平方厘米.

【评注】 比较以上三种解法,解法3的思路较灵活,运算简便,是本题较好解法.

例121 右下图是由若干个1立方厘米的正方体木块摆成的图形,它的体积是多少立方厘米?

(广东省广州市越秀区)

【分析1】把此图分为三层,最底层的长是5厘米,宽是4厘米,高是1厘米,由此可求底层的体积.同样可求第一层和第二层的体积,再将三层的体积加起来即得此形体体积.

【解法1】最底层的体积是多少?

5×4×1=20(立方厘米)

第一层和第二层的体积共多少?

4×2×2=16(立方厘米)

此形体的体积是多少?

20+16=36(立方厘米)

综合算式:5×4×1+4×2×2

=20+16=36(立方厘米).

【分析2】把这个形体切成一个长4厘米、宽3厘米、高1厘米和一个长4厘米、宽2厘米、高3厘米的两个长方体,求其体积和.

【解法2】4×3×1+4×2×3

=12+24=36(立方厘米).

【分析3】把原形体补充为一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体,求出它的体积,再减去多补充的体积4×3×2=24(立方厘米),即得原形体的体积.

【解法3】5×4×3-4×3×2

=60-24=36(立方厘米).

【分析4】因为第一、二层共有4×2×2=16(块),第三层有4×5=20(块),三层共36块,并且每块1立方厘米,由此可求36块多少立方厘米.

【解法4】1×(4×2×2+4×5)

=1×(16+20)=36(立方厘米).

答:它的体积是36立方厘米.

【评注】以上四种解法各有特色,读者可根据自己的实际情况灵活选用.

例122 如图,已知圆的直径是8厘米,求阴影部分的周长和面积.

(陕西省西安市新城区)

【分析1】图中阴影部分的周长是大圆半周长与小圆两个半周长的和,它的面积是大半圆的面积与小半圆面积的差,再加小半圆面积的和.

【解法1】

周长:3.14×8÷2+3.14×(8÷2)÷2×2

=25.12÷2+12.56÷2×2

=12.56+12.56=25.12(厘米)

=3.14×4×4÷2-3.14×2×2÷2+3.14×2×2÷2

=25.12(平方厘米).

【分析2】由图可知两个小半圆是相等的,因此阴影小半圆恰好补充空白小半圆,那么阴影面积等于大圆面积减去空白大半圆面积;阴影周长是小圆周长与大圆半周长的和.

=12.56+12.56=25.12(厘米)

=3.14×16-3.14×8

=3.14×(16-8)=25.12(平方厘米).

【分析3】因为大圆直径是小圆直径的2倍,所以小圆的周长和大圆的半周长相等,由此可知阴影部分周长恰是大圆的周长.将阴影小半圆移到空白小半圆使其重合,那么阴影部分恰是大半圆.

【解法3】周长:3.14×8=25.12(厘米)

=3.14×16÷2=25.12(平方厘米).

答:略.

【评注】比较以上三种解法,解法3的思路最直接最灵活,运算最简便,是最佳解法.

例123 如图,求阴影部分的面积(单位:厘米).

(辽宁省大连市中山区)

【分析1】先求出扇形的半径和圆心角的度数,再根据扇形面积公式求阴影的面积.

【解法1】半径:36÷2=18(厘米)圆心角:360°-60°=300°阴影面积:

=847.8(平方厘米).

【分析2】先求出扇形所在圆的面积,再求阴影部分占圆面积的几分之几,最后运用分数乘法应用题的解法求阴影面积.

=3.14×270=847.8(平方厘米).

【分析3】先求扇形所在圆的面积,再求空白扇形的面积,用圆面积减去空白扇形面积,即得阴影扇形的面积.

=3.14×18×18-3.14×18×3

=847.8(平方厘米).

【分析4】把扇形所在圆的面积看作“1”,那么空白扇形的面积占圆

的面积.

=3.14×270=847.8(平方厘米).

答:阴影部分的面积是847.8平方厘米.

【评注】比较以上四种解法,解法1的思路最简单,运算最简便,是本题最佳解法.

例124 在一个现代化的体育馆里铺设了30块长20米、宽3.5米、厚0.03米的硬塑地板,这个体育馆的面积有多少平方米?

(江苏省南京市鼓楼区)

【分析1】先求出每块硬塑板的占地面积,再求30块硬塑板的面积即体育馆占地面积.

【解法1】20×3.5×30

=70×30=2100(平方米).

【分析2】把这30块硬塑板平放成宽20米,长是30个3.5米的长方形,求出这个长方形的面积即体育馆的面积.

【解法2】3.5×30×20

=105×20=2100(平方米).

【分析3】把这30块硬塑板平放成长是30个20米、宽是3.5米的长方形,求出这个长方形的面积即体育馆的面积.

【解法3】20×30×3.5

=600×3.5=2100(平方米).

答:这个体育馆的面积有2100平方米.

【评注】解法1的思路最直接,解法最佳.

例125 求图中阴影部分的面积(单位:厘米).

(吉林省)

【分析1】先求平行四边形的面积,再求空白三角形的面积,用平行四边形的面积减去三角形的面积,即得阴影部分的面积.

【解法1】8×4-8×4÷2

=32-16=16(平方厘米).

【分析2】假设ae是6厘米,那么be的长是8-6=2厘米.由此直接求出两个阴影三角形的面积,再求它们的面积和,即得阴影面积.

【解法2】假设ae长6厘米,那么be的长是8-6=2厘米.

6×4÷2+2×4÷2

=12+4=16(平方厘米).

【分析3】因为三角形dec和平行四边形等底等高,所以三角形dec的面积是平行四边形面积的一半.由此求出平行四边形的面积再除以2即得阴影部分的面积.

【解法3】8×4÷2=16(平方厘米).

【分析4】把三角形ade沿ab向右平移,使ad与bc重合,这样两个阴影三角形恰好拼成一个底是8厘米、高是4厘米的三角形,求出此三角形的面积即得阴影面积.

【解法4】8×4÷2=16(平方厘米).

答:阴影部分的面积是16平方厘米.

【评注】解法1和解法2虽然易于理解和掌握,但运算较繁.解法3和解法4的思路直接,简单灵活,运算简便,是本题最佳解法.

例127 如图,求阴影部分的面积(单位:厘米).

(湖南省长沙市东区)

【分析1】先求大半圆的面积,再求小半圆的面积,用大半圆面积减去小半圆面积即得阴影部分的面积.

=1413-39.25

=1373.75(平方厘米).

【分析2】先求大圆面积,再求小圆面积,用大圆面积减去小圆面积,再除以2即得阴影部分的面积.

=(2826-78.5)÷2

=2747.5÷2=1373.75(平方厘米).

【分析3】本题是求半圆环面积.可先求圆环面积,再除以2即得.如果设大圆半径为r,小圆半径为r,那么圆环面积=πr2-πr2=π(r2-r2)

【解法3】r=60÷2=30(厘米)

r=10÷2=5(厘米)

3.14×(30×30-5×5)÷2

=3.14×(900-25)÷2

=2747.5÷2=1373.75(平方厘米).

【评注】比较以上五种解法,前四种解法的综合算式可通过乘法分配律相互转化,其中解法3的运算简便,是本题的较好解法.

例129 从一个长方体上截下一个棱长4厘米的正方体后,剩下的是一个长方体,它的体积是32立方厘米.原来长方体最长的一条棱是多少厘米?

(山西省太原市)

【分析1】因为截下的是正方体,所以剩下长方体的截面是正方形.因此可求出剩下长方体的长,再加上截下正方体的棱长,即得原来长方体的最长棱.

【解法1】剩下长方体的长?

32÷(4×4)=2(厘米)

原来长方体的最长棱?

2+4=6(厘米)

综合算式:32÷(4×4)+4

=32÷16+4=6(厘米).

【分析2】用剩下长方体的体积加上截下正方体的体积,即得原来长方体的体积.再根据“长方体体积=底面积×高”,用原长方体的体积除以底面积即得它的最长棱.

【解法2】截下正方体的体积?

4×4×4=64(立方厘米)

原来长方体的体积?

64+32=96(立方厘米)

原长方体的最长棱?

96÷(4×4)=6(厘米)

综合算式:(4×4×4+32)÷(4×4)

=(64+32)÷16=96÷16=6(厘米).

【分析3】根据“剩下的长方体体积加上截下的正方体体积等于原来长方体的体积”这一等量关系,列方程解.

【解法3】设原来最长棱x厘米.

32+4×4×4=(4×4)x

32+64=16x

x=96÷16

x=6

【分析4】用比例解法.因为长方体的体积÷高=底面积,底面积一定,所以长方体的体积和高成正比例.即长方体的体积与最长棱成正比例.

【解法4】设原来最长棱x厘米.

(4×4×4)∶4=(32+4×4×4)∶x

64∶4=96∶x

64x=4×96

x=6

答:原来长方体的最长棱是6厘米.

【评注】后三种解法都需要求出原来长方体的体积,再求原来的最长棱,运算较繁.解法1的思路简单明白,且运算简便,所以是本题的最佳解法.

例131 把一个高3分米圆柱体的底面分成许多个相等的扇形,然后把圆柱体切开,拼成一个与它等高的近似长方体,长方体的表面积比圆柱体的表面积增加12平方分米,原来圆柱体的体积是多少?

(福建省福州市)

【分析1】把圆柱体切拼成长方体后,它的表面积实际上增加了两个长方形s的面积,即12平方分米.由此可求一个长方形的面积,再除以它的长(即圆柱的高),即得它的宽(即圆柱底面半径).由此可根据圆柱体积公式求它的体积.

【解法1】3.14×(12÷2÷3)2×3

=3.14×4×3=37.68(立方分米).

【分析2】先求圆柱底面半径,再求圆柱底面半周长,即长方体的长.最后根据长方体的体积=长×宽×高,或把s面当作底面,根据长方体体积=底面积×高,求出长方体体积,即圆柱的体积.

【解法2】(12÷2÷3×3.14)×(12÷2÷3)×3

=6.28×2×3=37.68(立方分米).

或: (12÷2)×(12÷2÷3×3.14)

=6×6.28=37.68(立方分米).

【分析3】如图把长方体的前面(曲面)当作底面,长方体的宽(半径)当作高,根据长方体的体积=底面积×高,求出长方体的体积.关键是先求圆柱侧面积的一半(曲面).

【解法3】(12÷2÷3×3.14×3)×(12÷2÷3)

=18.84×2=37.68(立方分米).

答:原来圆柱体的体积是37.68立方分米.

【评注】比较以上四种解法,解法1的运算较简便,思路也较直接,是本题较好的解法.后两种解法的运算虽繁些,但对一些特殊题目的解答,可起到事半功倍的作用.

首页